دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .
لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*
فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه:9
فهرست مطالب ندارد
مجموع برخی از نیم سطرهای مثلث پاسکال از طریق تبدیلات لاپلاس
ترجمه صنم غضنفریون - مینا نجفی پور
دانشجوی کارشناسی رشته ریاضی، دانشگاه پیام نور زنجان
Thomas P.Dence, Some Half-Row Sums from Pascal’sTriangle via Laplace Transforms, The College Math Journal, Vol. 38, No. 3, 2007.
گاهی اوقات هنگام کار کردن با برخی از مسائل ریاضی نتایجی پدیدار می شود که در ظاهر هیچ ارتباطی به مسئله مورد بررسی ندارد. به عنوان مثال حین حل مسئله ای در مورد تبدیلات لاپلاس به نتایج غیر منتظره ای دست پیدا می کنیم که شامل نیمه ی اول از سطرهای مثلث پاسکال است.
این نتایج با برابر قرار دادن دو عبارت که دارای مقادیر یکسان هستند به دست می آیند. یکی از این عبارات مربوط به ترکیبیات است که در تکنیک های ریاضی بیشتر متداول است و عبارت دیگر که کمتر مرسوم است مربوط به تبدیلات لاپلاس است.
یادآوری تبدیل لاپلاس:
فرض کنیم تابعfبر بازه یتعریف شده باشد.انتگرال ناسره را در نظر می گیریم. در رابطه ی بالا sعددی حقیقی است.
فرض کنیم که انتگرال بالا به ازای sهای متعلق به یک مجموعه از اعداد حقیقی مانند s همگرا باشد در این صورت تابع F به صورت L تعریف می کنیم که تابع F را تبدیل لاپلاس تابع f می نامیم.
در دو لم زیر L را برای اعداد صحیح نا منفی به دو روش بدست می آوریم .
توجه شود درهر دو لم Lبه زوج یا فرد بودن nبستگی دارد.
لم1
= L
اثبات:
قرار دهید:
=
دو بار مشتق می گیریم از
(رابطه*)
می دانیم تبدیل لاپلاس مشتق دوم تابع به صورت رابطه ی زیر است
از آنجا که برای تابعداریمپس
(1)
از طرفین(رابطه * )لاپلاس می گیریم
(1)را جایگذاری می کنیم
(2)
بنا براین یک رابطه ی بازگشتی خواهیم داشت.می دانیم که
و
برایروابط را بررسی می کنیم.
که با به کار گیر ی استقرای ریاضی به ازای nهای زوج وفرد لم مورد نظر اثبات می شود
لم2
اثبات:
با استفاده از اتحاد,را بسط می دهیم
با قرار دادن ,در بسط نیوتن خواهیم داشت
طرفین اتحاد را به توان nمی رسانیم
از طرفین لاپلاس می گیریم لم نتیجه می شود. اثبات برای حالت فرد مشابه است.
قضیه
اثبات:
ابتدا برای حالت زوج اثبات می کنیم.
با ترکیب جملات در عبارت زیر(قسمت اول از لم(1))به یک عبارت گویا به فرم
میرسیم. p(s)/q(s)
قرار می دهیم
(2m)=(n-2j)
همان مخرج قسمت اول از لم یک است و از طرفی سمت q(s) از آنجا که
نیز باید با صورت لم p(s) راست هر دو لم یکسان می باشد لذا
است . n! یک برابر باشد که همان
را برابر صفر قرار دهیم.p(s) بنابراین باید تمام متغیر های
ضرایب p(s)را برابر صفر قرار می دهیم.
از طرفی طبق مربع دو جمله ای نیوتن داریم
که قسمت A از قضیه اثبات می شود
حال با در نظر گرفتن ضرایب بعدی خواهیم داشت
حال با قرار دادن
رابطه زیر به دست می اید:
از طرفی داریم
می باشد.C که همان اتحاد قسمت
برای n های فرد بار دیگر قسمت دوم از لم (2) را به صورت یک عبارت گویا به فرم
در نظر می گیریمp(s)/q(s)
همانند حالت زوج داریم q(s) همان مخرج قسمت دوم از لم یک می باشد لذا p(s) نیز باید برابر n! باشد.
بسته به اینکه به فرم یا باشد داریم
از طرف دیگر با برابر قرار دادن بزرگترین ضرائب داریم
که از این عبارت اتحاد قسمت B به دست میاید.
سر انجام با برابر قرار دادن بزرگترین ضرائب بعدی داریم
قرار دهید:
در این صورت عبارت بالا به صورت زیر در می اید
با ترکیب عبارت بالا با اتحاد قسمتB عبارت قسمت D به دست می اید.
در نتیجه شواهد تجربی حدس هایی به صورت زیر از قضیه استنباط می شود.
حدس (1):
متعلق به اعداد صحیح فرد مثبت هستند. k,nو(kn)
حدس(2)
متعلق به اعداد صحیح زوج مثبت : n, k
این حدس ها شباهت زیادی به اتحادی دارد که شامل سطر های کامل ضرائب دو جمله ای است.
لیست مراجع (برگرفته از مقاله اصلی)
- A.T. Benjamin and J.J. Quinn, Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof, MAA, 2003.
- D. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 7th ed, Brooks/Cole, 2001.
