چکیده:
در این تحقیق سعی بر آن شده است که جواب مسائل مقادیر مرزی مرتبه چهارم دو نقطه ای مورد بحث قرار گیرد.موضوع اصلی این پایان نامه براساس کار محققانی چون
- De Meyer, G. vanden Berghe,M. Van Deale. در سال 1994[3] می باشد.
در فصل اول، به بررسی مسائل مقادیر مرزی مرتبه چهارم و تعاریف پایه ای اسپلاین پرداخته می شود در فصل دوم ابتدا اسپلاین چند جمله ای درجه پنجم را فرمولبندی کرده و روابط اسپلاین را بدست می آوریم و با استفاده از این اسپلاین، مساله مقدار مرزی مرتبه چهارم را با طول گام های متساوی الفاصله حل کرده ایم. در فصل سوم که موضوع اصلی تحقیق ما می باشد، ابتدا اسپلاین غیر چند جمله ای را فرمول بندی کرده و روابط اسپلاین را بدست آورده و با استفاده از این اسپلاین مساله مقدار مرزی مرتبه چهارم را با طول گامهای مساوی حل کرده ایم.
سرانجام در فصل چهارم روشهای فصلهای پیشین را برای حل یک مساله مورد نظر بکار گرفته ایم و نتایج حاصله بیانگر این می باشد که روش حل معادله بوسیله اسپلاین غیر چند جمله ای وقتی K را به سمت صفر میل دهیم معادل روش حل معادله بوسیله اسپلاین درجه پنج می باشد.
فصل اول
کلیات و تعاریف
1-1) مقدمه:
یک صفحه مستطیل بطول L را در نظر می گیریم. این صفحه بطور یکنواخت تحت فشار می باشد و توسط یک فونداسیون الاستیک نگه داشته می شود. لبه های این صفحه بدون حرکت می باشند. اگر تغییر شکل این صفحه را W بنامیم مدل ریاضی این تغییر شکل توسط سیستم معادلات بصورت زیر است:
(1-1)
در این رابطه D ضریب انعطاف سختی صفحه فوق است. و K ضریب ثابت فنریت فونداسیون الاستیک ، q یکنواختی پخش فشار برروی صفحه فوق می باشد.
تغییر شکل و توضیح و تفسیر رابطه (1-1) برای مقادیر ثابت q,k,D توسط Timshenko [10] و Reissetal [8] آورده شده است. سیستم (1-1) حالت خاصی ار مسئله مقادیر مرزی زیر می باشد.
با شرایط مرزی
(1-2)
g(x), f(x) توابعی پیوسته روی هستند و ثابتهای حقیقی و متناهی هستند. حل تحلیلی سیستم (1-2) بر هر مقدار دلخواه و اختیاری g(x), f(x) مقدور نیست. بنابراین با استفاده از روشهای عددی تقریبی برای سیستم (1-2) می یابیم. روش تفاضلی که جواب تقریبی در مجموعه متناهی از نقاط xj بدست می دهد. توسط تعدادی زیادی از محققان در نظر گرفته شده است. usmani, Marsden [14و13] یک روش تفاضلی دارای دقت مرتبه دوم ارائه کردند و همگرایی روش تفاضلی مرتبه دوم را بهبود بخشیده اند و برای سیستم (1-2) نشان دادند که کران بالایی خطا بایستی در رابطه زیر صدق نماید.
(1-3)
مشروط به اینکه و برای به تعاقب این Usmani [10] و روشهای تفاضلی دارای دقت مراتب بالاتر را ارائه دادند. متاسفانه این روشها فقط برای مقادیر کوچک f(x) همگرا هستند. سپس Marsdan, Usmani [14] محدودیتی که در رابطه (1-3) برای همگرایی قابل بودند را اصلاح کردند و بجای محدودیت روی f(x) تنها مثبت بودن f(x) را بعنوان شرط همگرایی روشهای تفاضلی متناهی اثبات کردند. هم چنین Chawla, Katti [2] روش تفاضلی متناهی برای مسائل مقادیر مرزی غیر خطی با مرتبه P2 ارائه دادند و از نقاط بین گره ها نیز استفاده می نمایند.
اما روشهایی که براساس اسپلاین مکعبی استوارند ابتدا توسط Russel, Shampire [9] و هم چنین Fyfe [4]ارائه گردیده که دارای دقت مرتبه دوم می باشند. اما اولین بار برای سیستم (1-2) Rashidinia, Aziz [6] اسپلاین درجه پنج پارامتری را برای حالت معینی از مقادیر مرزی بکار بردند.
حال یکتایی جواب سیستم (1-2) را پی می گیریم:
1-2) یکتایی جواب سیستم (1-2)
قضیه 1-1) مسئله مقدار مرزی 01-2) دارای جواب منحصر بفرد است اگر
برای اثبات این قضیه ابتدا سه لم زیر را در نظر می گیریم و به کمک این لم ها به اثبات قضیه (1-1) می پردازیم.
لم 1-2) اگر باشد آنگاه
فرض می کنیم شامل همه توابع پیوسته روی فاصله بسته باشد و در این قسمت فقط ما تعریف می کنیم.
لم 1-3) اگر باشد آنگاه
لم 1-4) برای سیستم
اثبات لم های فوق در Hardy etal [15] موجود می باشد و یا می توان به کتاب Less [16] مراجعه کرد.
اثبات قضیه 1-1)
حال نشان می دهیم که سیستم (1-2) دارای یک جواب منحصر به فرد می باشد.
فرض کنیم v(x),u(x) در جواب مجزا برای سیستم (1-2) باشند. آنگاه نیز در سیستم صدق می نماید.
حال بکارگیری لم (1-4) در رابطه بالا خواهیم داشت و این بیانگر آنست که و نتیجتاً u(x)=v(x) برای جمیع مقادیر x که و این به معنای اثبات قضیه است.
1-3) تعاریف
روش عددی که برای تقریب y می خواهیم استفاده کنیم روش اسپلاین است پس به تعاریف زیر نیازمندیم.
تعریف 1) فرض کنیم که بازه را به n زیر باره با گام مساوی h افراز کنیم و نقاط گره ای xi را بصورت زیر داشته باشیم:
و
که در آن برای هر i=1(1)n
تابع اسپلاین درجه پنج (Quintic spline) P(x) تابعی است که f(x) را در بازه درونیابی نموده و در شرایط زیر صدق می کند:
- در هر یک از زیر بازه های یک چند جمله ای از درجه پنج است.
- مشتق اول و دوم و سوم و چهارم تابع Pi(x) پیوسته است. تعریف 2) تابع اسپلاین از دسته ، تابع f(x) را در نقاط شبکه ای j=1,…,n,{xj} درونیابی می کند، که به یک پارامتر K وابسته است، وقتی آنگاه به اسپلاین درجه پنجم معمولی در بازه تقلیل می یابد که این یک تابع اسپلاین درجه پنجم پارامتری نامیده می شود.
در این پایان نامه از اسپلاین غیر چند جمله ای که بصورت زیر تعریف می شود استفاده خواهد شد.
نشان خواهیم داد که روش حل مساله مقدار مرزی مرتبه چهارم بوسیله اسپلانیهای غیر چند جمله ای وقتی ، معادل است با روش حل مساله مقدار مرزی مرتبه چهارم، بوسیله اسپلاین درجه پنج معمولی.
فصل دوم
حل معادله مقدار مرزی مرتبه چهارم بوسیله اسپلاین درجه پنجم و بررسی همگرایی روش
معادله مقدار مرزی زیر را که یک معادله مرتبه چهارم است را در نظر می گیریم.
(2-1)
می خواهیم این معادله را بوسیله اسپلاین درجه پنج حل کنیم.
2-1) استنتاج روش
نخست یک دنباله از نقاط متساوی الفاصله xn را در بازه معرفی می کنیم. برای داریم:
(2-2)
فرض کنیم y(x) جواب دقیق سیستم (2-1) باشد و zi را تقریبی از در نظر می گیریم.
تابع اسپلاین درجه پنج برای بازه تعریف شده به فرم زیر است:
(2-3)
عبارتها را برای ضرایب (2-3) در جملات Si+1,Si,Di+1,Di,Zi+1Zi بسط می دهیم.
قرار می دهیم:
شش معادله زیر را تعریف می کنیم:
(2-4)
با استفاده از این 6 معادله ضرایب fi,ei,di,ci,bi,ai را به دست می آوریم.
Pi(xi) را بدست می آوریم.
از (2-4) داشتیم
در نتیجه (1)
حال را می یابیم.
در (2-2) داشتیم
بنابراین
از (2-4) داریم درنتیجه
از (2-4) داریم در نتیجه
(3)
از (2-4) داریم در نتیجه
از(2-4) داشتیم در نتیجه
(5)
از (2-4) داشتیم
(6)
با استفاده از رابطه (1)، (2)، (3)، (4)، (5)، (6) ضرایب را بدست می آوریم:
(2-5)
با استفاده از پیوستگی مشتق مرتبه دوم داریم:
قرار می دهیم
(2-6)
حال با استفاده از پیوستگی مشتق مرتبه سوم داریم:
قرار می دهیم
(2-7)
در رابطه (2-6)، (2-7) به جایi یکبار i+1 و بار دیگر i-1 قرار می دهیم، داریم:
این 4 رابطه با دو رابطه (2-6) و (2-7) یک دستگاه 6 معادله 5 مجهولی را تشکیل می دهند.
که
و
از بین 6 معادله، 5 معادله را انتخاب کرده و یک دستگاه 5 معادله 5 مجهول بدست می آید.
Bi,Bi-1,Ai-1,Bi+1,Ai+1 را در رابطه بالا قرار داده و پس از انجام عملیاتی و ساده کردن به رابطه زیر می رسیم:
(2-8)
که
در (2-8) است یعنی 2-N معادله داریم و یک سیستم 2-N معادله N مجهولی داریم، برای اینکه سیستم N معادله N مجهولی شود، 2 معادله نیازمندیم پس از شرایط مرزی استفاده می کنیم.
یعنی در (2-6) و (2-7) به جای i قرار می دهیم i=1,2
که B2,B1, A2,A1 با قرار دادن i=1,2 در رابطه (*) بدست می آید:
با حذف i=1,2,3,Di و با استفاده از عملیات زیر داریم:
B2 A2, B1 , ,A1 را در رابطه بالا قرار داده و بدست می آوریم:
(2-9)
حال در (2-6)و (2-7) قرار می دهیم i=N,N-1
مانند قبل عمل کرده و با حذف j=N-2,N-1, N ,Dj ،رابطه زیر را بدست می آوریم:
(2-10)
روابط (2-6) و (2-7) را از هم کم می کنیم، داریم:
(2-11)
که DN+1=B2,D0=B1 از شرایط مرزی معلوم هستند.
با قرار دادن از روابط (2-5) در رابطه بالا داریم:
در نتیجه
(2-12)
به همین ترتیب داریم:
با قرار دادن از روابط (2-5) در رابطه بالا داریم:
(2-13)
2-2) آنالیزخطای روش:
حال خطای برشی موضعی روابط (2-8) و (2-9)و (2-10) را می یابیم.
رابطه (2-8) را در نظر می گیریم.
می دانیم
در نتیجه
بوسیله سری تیلور رابطه بالا رابطه می دهیم،
= سمت چپ
در نتیجه
سمت چپ
حال سمت راست رابطه را بسط می دهیم:
سمت راست
سمت راست
سمت راست و سمت چپ را مساوی هم قرار می دهیم:
که این خطای برشی رابطه (2-8) است.
حال خطای برشی رابطه (2-9) را بدست می آوریم.
سمت چپ
طرف راست
خطای برشی (2-10) مانند خطای برشی (2-9) است فقط به جای و به جای h،-h قرار می گیرد. پس خطای برشی (2-10) بصورت زیر است:
2-3) همگرایی روش
می دانیم
اگر رابطه بالا را در (1) قرار دهیم داریم:
رابطه (2) نیز بصورت زیر می شود:
رابطه (3) نیز بصورت زیر می شود:
از رابطه (*) و (**)و (***) داریم:
(2-14)
در رابطه (**) اگر قرار دهیم i=2 داریم:
اگر در رابطه (**) قرار دهیم i=N-1 داریم:
دو رابطه آخر را همراه سه معادله رابطه (2-14) در یک دستگاه قرار می دهیم و یک دستگاه N معادله N مجهولی بدست می آوریم.
که در آن
فرم ماتریسی دستگاه (2-15) بصورت زیر است:
که
اگر فرض کنیم y جواب واقعی باشد داریم:
(II) را از (I) کم می کنیم تا خطا بدست آید.
چون
پس در نتیجه
A ماتریس یکنواست و در نتیجه
که چگونگی بدست آوردن در فصل بعد بطور کامل بیان شده است.
داریم:
لم نیومن: اگر آنگاه
اثبات:
طبق قضیه گرشکورین داریم
در نتیجه پس موجود است
اگرA را به –A تبدیل کنیم داریم:
حال به رابطه (*) بر می گردیم اگر در این رابطه از لم نیومن استفاده کنیم داریم:
اگر
آنگاه
در نتیجه
که
T را بصورت زیر در نظر می گیریم:
که
G را بصورت زیر تعریف می کنیم:
در نتیجه
که
داشتیم در نتیجه
بنابراین
در آخر به این نتیجه رسیدیم که روش ما یک روش همگرا از مرتبه دو است.
فصل سوم
حل عددی مسائل مقدار مرزی مرتبه چهارم بوسیله اسپلاینهای غیر چند جمله ای و بررسی همگرایی روش
معادله دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه چهارم زیر را در نظر می گیریم:
(3-1)
که تابعهای g(x),f(x) روی پیوسته هستند، و Bi,Ai، i=1,2 ، ثابتهای دلخواه حقیقی و متناهی هستند.
می خواهیم این معادله را بوسیله اسپلاین غیر چند جمله ای حل کنیم.
3-1) استنتاج روش
برای یک شبکه نقطه ای متساوی الفاصله را بصورت زیر در نظر می گیریم:
بطوری که
(3-2)
تابع اسپلاین زیر را در نظر می گیریم:
(3-3)
و Zi را یک تقریب از در نظر می گیریم.
قرار می دهیم:
حال روابط زیر را در نظر می گیریم:
(3-4)
داشتیم که:
می خواهیم را بیابیم، با استفاده از روابط (3-4) ضرایب مورد نظر را بدست می آوریم.
با توجه به رابطه (3-2) داریم:
در نتیجه
پس در نتیجه داریم:
پس داریم:
قرار می دهیم در نتیجه
قرار می دهیم
قرار می دهیم در نتیجه:
(6)
با استفاده از روابط (1) ، (2)، (3)، (4)، (5)، (6)، fi,ei,di,ci,bi,ai را بدست می آوریم:
داشتیم در نتیجه
با توجه به (*) و (**) داریم:
di را در (*) قرار می دهیم ci را بدست می آوریم:
ei,di,ci,bi,ai را بصورت زیر تعیین کردیم:
(3-5)
با استفاده از پیوستگی مشتق مرتبه دوم داریم:
دو رابطه ی آخر را مساوی هم قرار می دهیم.
با قرار دادن از رابطه (3-5) در رابطه بالا، عبارت زیر را بدست می آوریم.
(3-6)
حال با استفاده از پیوستگی مشتق مرتبه سوم داریم:
دو رابطه آخر را با هم مساوی قرار می دهیم:
با قرار دادن از رابطه (3-5) در رابطه بالا، عبارت زیر بدست می آید:
در روابط (3-6) و (3-7) به جای I یکبار i+1 و یکبار i-1 قرار می دهیم:
که
این 4 رابطه و روابط (3-6) و (3-7) را با هم در نظر گرفته و یک دستگاه 6 معادله 5 مجهولی می سازیم:
5 معادله از 6 معادله را بطور دلخواه انتخاب کرده و دستگاه 5 معادله 5 مجهولی بدست آمده را حل می کنیم.
با حذف j=i-2,…,i+2 ‘ Dj، رابطه زیر بدست می آید:
با قرار دادن در رابطه بالا و انجام یک سری عملیات به رابطه زیر می رسیم:
(3-8)
بطوری که حال اگر در رابطه (3-8) را به سمت صفر میل دهیم، داریم:
با استفاده از قاعده هوپیتال بعد از چند مرحله حد این عبارت را بدست می آوریم:
حال حد زیر را بدست می آوریم:
با استفاده از قاعده هوپیتال بعد از چند مرحله حد عبارت بالا بصورت زیر می شود:
و بالاخره:
در نتیجه رابطه (3-8) به رابطه زیر تقلیل می یابد.
(3-9)
رابطه (3-9) همان رابطه (2-8) است.
یعنی اگر در روش اسپلاین غیر چند جمله ای قرار دهیم k=0 روش اسپلاین درجه پنج به دست می آید.
در اینجا یک سیستم N-2 معادله N مجهولی داریم، برای اینکه سیستم شود 2 معادله کم داریم، که این 2 معادله را از شرایط مقدار مرزی رابطه (3-1) بدست می آوریم.
در (3-6) و (3-7) قرار می دهیم i=I,2
که قبلاً تعریف شده اند.
با حذف Dj ، j=1,2,3 ،رابطه زیر بدست می آید.
که با قرار دادن در رابطه بالا به عبارت زیر می رسیم:
(3-10)
حال از (3-10) وقتی که به سمت صفر میل کند حد می گیریم:
پس رابطه (3-10) بصورت زیر تقلیل پیدا می کند.
(3-11)
که (3-11) همان رابطه (2-9) است.
حال در (3-6) و (3-7) قرار می دهیم i=N-1,N
با حذف رابطه زیر بدست می آید:
با قرار دادن در بالا بدست می آوریم
(3-12)
با حد گرفتن از (3-12) وقتی ، (3-12) به رابطه زیر تقلیل می یابد.
(3-13)
که (3-13) همان رابطه (2-10) است.
از تفریق (3-6) و (3-7) و حل نتایج آن Di را بدست می آوریم
که از شرایط مرزی معلوم هستند.
با جایگذاری از روابط (3-5) در رابطه بالا بصورت زیر می شود.
در نتیجه
(3-14)
حال را در نظر می گیریم.
را از (3-5) در رابطه بالا قرار داده و بدست می آوریم:
(3-15)
3-2) آنالیز خطای روش
حال خطای برشی (3-8) را بدست می آوریم.
می دانیم
در نتیجه
بوسیله سری تیلور رابطه بالا را بسط می دهیم.
طرف چپ
= طرف چپ
= طرف راست
طرف راست
سمت راست و چپ را با هم مساوی قرار می دهیم:
(3-16)
که
حال خطای برشی (3-9) را بدست می آوریم.
سمت چپ
= سمت راست
(3-17)
که
خطای برشی (3-10) را بوسیله بسط سری تیلور بدست می آوریم.
بوسیله بسط سری تیلور سمت چپ رابطه فوق بصورت زیر می شود:
= طرف چپ
و طرف راست رابطه به صورت زیر می شود.
طرف ر
