لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
فرمت فایل word و قابل ویرایش و پرینت
تعداد صفحات: 49
مقدمه
کسی که هندسه نمیداند از این در داخل نشود،
کتیبة سر در روی آکادمی افلاطون
بیشتر مردم نمیدانند که در حدود یک سده و نیم پیش انقلابی در زمینة هندسه روی داد که از لحاظ علمی به عمق انقلاب کوپرنیکی در نجوم، و از جنبة نتایج فسلفی به اهمیت نگرة تکامل داروین بود. کاکستر، هندسهدان کانادایی مینویسد: «تأثیر کشف هندسة هذلولوی در تصوری که از حقیقت و واقعیت داریم آنچنان عمیق بوده است که بدشواری میتوانیم تصور کنیم که امکان وجود هندسهای غیر از هندسة اقلیدسی تا چه اندازه در سال 1820 تکان دهنده جلوه کرده است.» اما همة ما امورزه نام هندسة فضا – زمان نگرة نسبیت اینشتاین را شنیدهایم. «در واقع، هندستة پیوستار فضا – زمان به حدی به هندسة تا اقلیدسی وابسته است که آگاهی از این هندسهها شرط لازم برای درک کامل جهانشناسی نسبیت است.»
هندسة اقلیدسی، همان هندسهای که شما در دبیرستان خواندهاید، هندسهای است که بیشتر برای تجسم جهان مادی به کار میبریم. این هندسه از کتابی به نام اصول به دست ما رسیده که توسط اقلیدس، ریاضیدان یونانی، در حدود 300 سال پیش از میلاد مسیح نگاشته شده است. تصوری که ما براساس این هندسه از جهان مادی پیدا کردهایم تا حد زیادی به توسط آیزک نیوتن در اواخر سدة هفدهم ترسیم شده است.
هندسههایی که اقلیدسی نیستند از مطالعة عمیقتر موضوع توازی در هندسة اقلیدسی پیدا شدهاند. دو نیمخط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نمودار زیر در نظر بگیرید:
در هندسة اقلیدسی فاصلة (عمودی) بین دو نیمخط هنگامی که به سمت راست حرکت میکنیم همواره مساوی فاصلة P تا Q باقی میماند؛ ولی در اوایل سدة نوزدهم دو هندسة دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسة هذلولوی (از کلمة یونانی هیپربالئین به معنی «افزایش یافتن») که در آن فاصلة میان نیمخطها افزایش مییابد، دیگری هندسة بیضوی (از کلمة یونانی الیپن «کوتاه شدن») که در آن این فاصله رفته رفته کم میشود و سرانجام نیمخطها همدیگر را میبرند. این هندسههای نااقلیدسی بعدها به توسط ک.ف. گاوس و گ.ف.ب. ریمان در قالب هندسة کلیتری بسط داده شدند (همین هندسة کلیتر است که در نگرة نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است).
در این کتاب ما به هندسههای هذلولوی و اقلیدسی خواهیم پرداخت. هندسة هذلولوی تنها به تغییر یکی از اصول اقلیدس نیاز دارد، و میتواند به همان آسانی هندسة دبیرستانی فهیمده شود. از سوی دیگر، هندسة بیضوی شامل مفهوم توپولوژیک تازة «سوناپذیری» است، زیرا همة نقاط صفحة بیضوی که بر روی یک خط نیستند در یک طرف آن خط قرار داردند. از این هندسه نمیشود به همان سهولت هندسة اقلیدسی صبحت کرد، زیرا به بسط قبلی هندسة تصویری نیاز دارد. بنابراین بحث در بارة هندسة بیضوی را در یک ضمیمة کوتاهی انحام دادهام. (اشتباه نشود! منظو ما این نیست که ارزش هندسة بیضوی کمتر از ارزش هندسة‌هذلولوی است.) فهم هندسة ریمانی مستلزم درک کامل محاسبات دیفرانسیل و انتگرال، و لذا بیرون از ظرفیت این کتاب است (در ضمیمه «ب» مختصری راجع به آن بحض شده است).
فصل اول با تاریخچة مختصری در باب هندسه در دوران قدیم آغاز میشود، و به بیان اهمیت بسط روش بنداشتی توسط یونانیان ادامه مییابد. همچنین پنج اصل موضوع اقلیدس معرفی و به تلاش لژاندر برای اثبات اصل موضوع پنجم ختم میشود. برای پیدا کردن نقص برهان لژاندر (و برهانهای دیگر)، لازم است که مبانی هندسه دو باره دقیقاً مورد بررسی قرار گیرد. ولی، پیش از آنکه بتوانیم اساساً هندسهای بنا کنیم، باید به بعضی از اصول بنیادی منطق آگاهی داشته باشیم. این اصول در فصل دوم به گونهای غیر رسمی دوباره بررسی شدهاند. در این فصل عناصر مشکلة یک برهان دقیق را از نظر میگذرانیم و بویژه به روش اثبات نامستقیم یا برهان خلف تکیه میکنیم. فصل دوم به مفهوم بسیار مهم الگو برای یک دستگاه بنداشت ختم میشود، که با الگوهای متناهی از بنداشتهای وقوع نقاط و خطوط در هندسه نشان داده شدهاند.
فصل سوم با بحثی از برخی نقایص در نحوة ارائة هندسه به توسط اقلیدس آغاز شده، و این نقایص با ارائه کامل بنداشتهای داوید هیلبرت (با اندکی تغییر) و نتایج اولیة آنها برطرف شدهاند. ممکن است هنگام اثبات نتایجی که خودبخود بدیهی به نظر میرسند بیحوصله شوید. اما، هرگاه بخواهید با اطمینان در فضای نااقلیدسی کشتی برانید باید به این کار اساسی تن درهید.
مطالعة نتایج بنداشتهای هیلبرت، جز اصول نوازی، در فصل چهارم ادامه یافته است.
تحقیق درباره ی اقلیدس 50 ص
