انتگرال ریمان - استیل یس

اختصاصی از سورنا فایل انتگرال ریمان - استیل یس دانلود با لینک مستقیم و پر سرعت .

مقالات  ریاضی  با فرمت           DOC           صفحات  20

تعریف6-1 : مجموعه {b= xn ... و x1 و x0 =a }=p که در آن :

b =  n x  > ... >x1 > x 0 =a  را یک  افراز از بازه بسته] b وa [  می نامیم .

دقت کنید { b و a  } = p افرازی از ] b  و a [  می باشد .

تعریف 6-2 : اگر {b = xn  > ...> x1 > x1 =a  }=p  افراز دلخواهی از ] b و a [ باشد آنگاه

همینطور اگر f تابعی کراندار بر ] b وa [ باشد تعریف می کنیم

(x )f   f n i= ) f ) i m  = i m                                 (x )f  sup = ) f ) i M  = Mi

   i x x 1 - i x  *                                                             i x   x  1- i x  *

تعریف 6-3 : فرض کنید P افزاری از بازه [a , b]  و تابع f بر[a , b]  کراندارد تابع α بر [a , b]   صعودی باشد مجموعه های بالایی و پایینی تابع f را به ترتیب با: L(p,f,α) , u (p,f,α)  نشان داده و تعریف می کنیم :                                                         

   

که در آن

و ضمناً اگر α تابع همانی باشد یعنی (x)=x α آنگاه L(p,f,α) , u (p,f,α)   را به ترتیب با L(p,f) , u (p,f)   نشان داده و آنها را مجموعه های بالایی و پایینی ریمان گوییم.

تذکر: اگر m = inf f(x)   , M = sup f(x) آنگاه

                 [a , b]  *                                  [a , b]  *

m [α(b) - α(a)] ≤ L (p,f, α) ≤ u (p,f, α) ≤ M [α(b) - α(a)]

تعریف 6-4: افراز p* را یک تظریف افراز p گوئیم هرگاه p* ≥ p «گاهی اوقات گوییم: p* ظریفتر از P است».

و اگر p2 و p1 دو افراز دلخواه از [a , b] باشند آنگاه p2 p* = p1  را تظریف مشترک p2 و p1 گوییم.

قضیه 6-5 : الف) اگر p* یک تظریف از p باشد آنگاه :

L (p,f,α) ≤ L (p*, f,α)                                        u (p*,f,α) ≤ u (p,f,α)

ب) به ازای هر دو افراز Q , p داریم                                         L (p,f,α) ≤ u (Q,f,α)

x*

 

اثبات الف) ابتدا فرض کنید p* یک نقطه مانند x* بیشتر از p داشته باشد.

*

 

a=x0    x1     xk-1     xk    b = xn

 

 p* = pU {x*}            یعنی

فرض کنید  xk-1 < x* < xk  که xk , xk-1  دو نقطه متوالی از افراز p می باشند همچنین فرض کنید.                                                     K = sup f(x)       ;   َM

                                                         xk-1 ≤ x ≤ x*             x* ≤ x ≤ xk

                                                  MK = sup f(x)

xk-1 ≤ x ≤ xk                                                

واضح است که :       MK ≥ MK  ;  MK ≥MK

اکنون داریم :       

بطور مشابه ثابت می شود.

L (p*,f,α) ≤ L (p,f,α)

بطور مشابه کافیست مانند همین اثبات فقط قسمتهایی را تغییر دهیم: همچنین فرض کنید:

K = inf f(x)       ;   x* ≤ x ≤ xk K = inf f(x)             

   xk-1 ≤ x ≤ x*             mK = inf f(x)             xk-1 ≤ x ≤ x 

واضح است که                                                         mk ≤     k   mk ≤    k        ;

اکنون داریم