مقالات ریاضی با فرمت DOC صفحات 20
تعریف6-1 : مجموعه {b= xn ... و x1 و x0 =a }=p که در آن :
b = n x > ... >x1 > x 0 =a را یک افراز از بازه بسته] b وa [ می نامیم .
دقت کنید { b و a } = p افرازی از ] b و a [ می باشد .
تعریف 6-2 : اگر {b = xn > ...> x1 > x1 =a }=p افراز دلخواهی از ] b و a [ باشد آنگاه
همینطور اگر f تابعی کراندار بر ] b وa [ باشد تعریف می کنیم
(x )f f n i= ) f ) i m = i m (x )f sup = ) f ) i M = Mi
i x x 1 - i x * i x x 1- i x *
تعریف 6-3 : فرض کنید P افزاری از بازه [a , b] و تابع f بر[a , b] کراندارد تابع α بر [a , b] صعودی باشد مجموعه های بالایی و پایینی تابع f را به ترتیب با: L(p,f,α) , u (p,f,α) نشان داده و تعریف می کنیم :
که در آن
و ضمناً اگر α تابع همانی باشد یعنی (x)=x α آنگاه L(p,f,α) , u (p,f,α) را به ترتیب با L(p,f) , u (p,f) نشان داده و آنها را مجموعه های بالایی و پایینی ریمان گوییم.
تذکر: اگر m = inf f(x) , M = sup f(x) آنگاه
[a , b] * [a , b] *
m [α(b) - α(a)] ≤ L (p,f, α) ≤ u (p,f, α) ≤ M [α(b) - α(a)]
تعریف 6-4: افراز p* را یک تظریف افراز p گوئیم هرگاه p* ≥ p «گاهی اوقات گوییم: p* ظریفتر از P است».
و اگر p2 و p1 دو افراز دلخواه از [a , b] باشند آنگاه p2 p* = p1 را تظریف مشترک p2 و p1 گوییم.
قضیه 6-5 : الف) اگر p* یک تظریف از p باشد آنگاه :
L (p,f,α) ≤ L (p*, f,α) u (p*,f,α) ≤ u (p,f,α)
ب) به ازای هر دو افراز Q , p داریم L (p,f,α) ≤ u (Q,f,α)
x*
اثبات الف) ابتدا فرض کنید p* یک نقطه مانند x* بیشتر از p داشته باشد.
*
a=x0 x1 xk-1 xk b = xn
p* = pU {x*} یعنی
فرض کنید xk-1 < x* < xk که xk , xk-1 دو نقطه متوالی از افراز p می باشند همچنین فرض کنید. K = sup f(x) ; َM
xk-1 ≤ x ≤ x* x* ≤ x ≤ xk
MK = sup f(x)
xk-1 ≤ x ≤ xk
واضح است که : MK ≥ MK ; MK ≥MK
اکنون داریم :
بطور مشابه ثابت می شود.
L (p*,f,α) ≤ L (p,f,α)
بطور مشابه کافیست مانند همین اثبات فقط قسمتهایی را تغییر دهیم: همچنین فرض کنید:
K = inf f(x) ; x* ≤ x ≤ xk K = inf f(x)
xk-1 ≤ x ≤ x* mK = inf f(x) xk-1 ≤ x ≤ x
واضح است که mk ≤ k mk ≤ k ;
اکنون داریم
انتگرال ریمان - استیل یس
