ریاضیات مهندسی رشته مهندسی مکانیک
کتاب های آمادگی آزمون کارشناسی ارشد سراسری رشته مهندسی مکانیک ویژه کنکور - به همراه تست ها و پاسخ تشریحی
فهرست مطالب
فصل اول:سری فوریه، انتگرال و تبدیل فوریه..................................................................................................................................1
فصل دوم:توابع مختلط، نگاشت ها..................................................................................................................................................97
فصل سوم:دنباله ها و سری های مختلط...................................................................................... ................................................. 196
فصل چهارم:انتگرال های مختلط...................................................................................................................................................244
فصل پنجم:معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی .................. ......................................................................................................295
فصل اول:سری فوریه، انتگرال و تبدیل فوریه
1-1 ) توابع متعامد
k اگر مجموعه توابع
f را
n m (x),f (x) تابع دو اینصورت در ،باشند پیوسته [a ,b] هی باز در h(x) تابع و f (x) , k = 1,2 3, ,K
نسبت به تابع وزنی(h(x متعامد میگوئیم اگر bn m a
f (x)f (x)h(x)dx = ¹ m n ò o
f (x) , k = 1,2 3, ,K را یـک k اگر رابطهی فوق به ازای هر دو مقـدار m n ¹ برقـرار باشـد در اینصـورت مجموعـه توابـع
مجموعه توابع متعامد نسبت به تابع وزنی (h(x در بازهی [a, b] می نامیم.معمولاً h(x) = 1 فرض میشود و ضرب داخلـی
دو تابع به صورت زیر معرفی میگردد
1-3 ) همگرایی سری فوریه
در این بخش ابتدا با دو مفهوم پیوستهی قطعهای و هموار قطعهای آشنا می . شویم
تابع (f(x را در یک بازه پیوستهی قطعهای می منامی اگر تعداد نقاط ناپیوستگی(f(x در این بازه متناهی باشـد و در هـر
نقطهی ناپیوستگی حدود چپ و راست(f(x . موجود باشد
اگر توابع(f¢(x) , f(x در یک بازه پیوستهی قطعهای باشند آنگاه تابع(f(x را هموار قطعهای . مینامیم
همگرایی سری فوریه (شرایط دیریکله):
تابع متناوب(f(x با دوره متناوب T L = 2 مفروض است. اگر (f(x در (L,L-) هموار قطعهای باشد آنگاه سـری فوریـهی
(f(x به مقدار زیر همگرا . میباشد
الف) اگر تابع (f(x در = x a پیوسته باشد سری فوریه (f(x به (f(a همگرا می . باشد
ب) اگر تابع(f(x در = x a ناپیوسته باشد سری فوریه (f(x به میانگین حدود چپ و راست تابع همگرا می . باشد
1-4 ) بسط نیم دامنه (سری فوریه سینوسیو کسینوسی)
سری فوریه کسینوسی:
تابع (f(x در باز هی (o,L) مفروض است. این تابع را به یک تابع زوج متناوب مانند (g (x بسط می . دهیم
سری فوریهی تابع (g(x در بازهی [o,L]، سری فوریه کسینوسی تابع(f(x . میباشد
نکته 6: همگرایی سری فوریه کسینوسی
اگر تابع (f(x در باز هی (o,L) هموار قطعهای باشد آنگاه سری فوریه کسینوسی (f(x . همگراست
الف) اگر(f(x در نقط هی (a Î (o,L پیوسته باشد آنگاه سری فوریه کسینوسی در این نقطه به (f (a همگرا . میباشد
ب) اگر (f(x در نقطهی(a Î(o,L ناپیوسته باشد آنگاه سری فوریه کسینوسی در این نقطه به ( f(a ) f(a1/2
- + é ù +
ë û همگرا
. میباشد
مجموعه تست
1ـ اگرi x F( ) e f(x)dx¥ - a-¥a = ò
تبدیل فوریهی(f(xباشد، تبدیلفوری هی cosax f(x)کدام است؟
F(a - a) - F(a + a) 4( F(a - a) + F(a ) + a 3( F(a -a) - F(a ) + a 2( F(a - a) + F(a + a) ( 1
2ـ تبدیل فوریهی یکتابع فرد و حقیقی:
1 ) یک تابع فرد و حقیقی است 2) یک تابع زوج و حقیقی است
3 ) یک تابع زوج و موهومی محض است 4) یک تابع فرد و موهومی محض است
3ـ مانده تابعz ef(z)z11=-
در نقطه منفرد z = o کدام است؟e (3 e (2 (1 1-1e -1 (43-1
= ، نوع ویژگی (تکینی) تابع در نقطه z = o چیست و مانده تـابع در ایـن نقطـه 2ویژه (تکین) چنداست؟
1 ) قطب ساده و صفر 2 ) قطب ساده و1/6
3 ) نقطه تکین اساسی (قطب مرتبه بی نهایت) و1/6
- 4 ) نقطه تکین اساسی (قطب مرتبه بینهایت) و16 6z11=-
از متغیر مخـتلط z را در نظـر مـیگیـریم. در مـورد نقـاط تکـین (sin gularity) و
قطبهای تابع کدام عبارت درست است؟
1 ) بینهایت قطب مکرر دارد z = 1 (2 تنها نقطه تکین تابع است
3 ) فقط یک نقطه تکین اساسی دارد 4) بینهایت قطب ساده و یک نقطه تکین اساسی دارد
37ـ فرض کنید تابع f به صورت زیر تعریف شده باشد
(متغیر مختلط)cos z f(z) ,zz31- = ¹ oکدام یک از گزارههای زیر صحیح است؟
)z = o 1 قطب ساده تابع f است و مانده f در نقطه صفر برابر با1/2. است
)z = o 2 قطب ساده تابع f است و مانده f در نقطه صفر برابر با . 1 است
)z = o 3 قطب مرتبه دو تابع f است و مانده f در نقطه صفر برابر با1/2. است
)z = o 4 قطب مرتبه سه تابع f است و مانده f در نقطه صفر برابر با . 1 است
نوع فایل:Pdf
سایز :5.97 MB
تعداد صفحه: 408
ریاضیات مهندسی رشته مهندسی مکانیک
